در میان ۳۷۷ نتیجه‌ای که OpenAI در ۶ اکتبر ۲۰۲۶ اعلام کرد، یکی از آن‌ها خیره‌کننده بود. این ادعا مطرح شد که «فرضیه شبه-ریمان» (quasi-Riemann hypothesis) حل شده است؛ نسخه‌ای ضعیف‌تر از فرضیه ریمان که مسلماً بزرگ‌ترین سوال بی‌پاسخ در ریاضیات محسوب می‌شود. این اثبات جدید، همان‌طور که جرد دوکر لیختمن از دانشگاه استنفورد بیان کرد، «با اختلاف زیاد، مهم‌ترین دستاورد هوش مصنوعی برای ریاضیات تا به امروز است.»
فرضیه ریمان بیش از ۱۶۰ سال است که به عنوان یک مسئله باز باقی مانده است. حل آن به ریاضی‌دانان اجازه می‌دهد تا ماهیت اعداد اول، یعنی یکی از حیاتی‌ترین بلوک‌های سازنده ریاضیات را بهتر درک کنند. و این تازه شروع ماجراست.
به گفته ماکسیم رادزیویل از دانشگاه نیویورک، پیامدهای حتی همین نتیجه محدودتر «شبه-RH» نیز «تکان‌دهنده» است. «به نوعی، اکثریت قریب به اتفاق پیامدهای RH در حال حاضر از شبه-RH ناشی می‌شوند.»
علاوه بر این، برخلاف آنچه ریاضی‌دانان برای مدت‌ها انتظار داشتند، این اثبات نیازی به معرفی مفاهیم جدید نداشت؛ بلکه در عوض، پیوندهای پنهانی بین مفاهیم قدیمی را از زیر خاک بیرون کشید. الکساندر دان از موسسه فناوری جورجیا گفت: «این اثبات، یک سنتز غافلگیرکننده از ایده‌های شناخته‌شده است.»
این نتیجه تا حدی بر تکنیک‌هایی تکیه داشت که توسط رادزیویل و دان پیشگام شده بود. آن‌ها در کنار دیگر نظریه‌پردازان اعداد، در تلاش بوده‌اند تا این اثبات و معنای آن را درک کنند. اکنون آن‌ها شروع به دریافت پاسخ‌ها کرده‌اند.
به سوی زتا و فراتر از آن
برای درک آنچه فرضیه شبه-ریمان می‌گوید، ابتدا باید فرضیه ریمان را درک کنید. هنگامی که موسسه ریاضیات کلی (Clay Mathematics Institute) در آغاز قرن، هفت مسئله جایزه هزاره را اعلام کرد، فرضیه ریمان بر شش مسئله دیگر سایه افکنده بود. این تنها مسئله‌ای بود که از لیست مشهور و تعیین‌کننده مسائلی که دیوید هیلبرت یک قرن قبل اعلام کرده بود، به لیست جدید منتقل شد.
در ظاهر، این حدس مربوط به رفتار یک تابع خاص است. با مجموع $latex 1 + rac{1}{2} + rac{1}{3} + rac{1}{4} + \cdots $ شروع کنید. حالا از آن مجموع (همراه با یک ترفند ریاضی خاص برای گسترش دامنه آن) برای ساختن یک تابع کلی‌تر به نام تابع زتای (ζ) ریمان استفاده کنید:
در اینجا، ورودی s یک عدد مختلط است. اعداد مختلط دارای دو بخش هستند - یک بخش «حقیقی» و یک بخش «موهومی» که مضربی از ریشه دوم ۱- است (که به صورت i نوشته می‌شود). هر عدد مختلط را می‌توان به عنوان نقطه‌ای روی یک صفحه در نظر گرفت:
مارک بلان/ مجله کوانتا
فرضیه ریمان درباره این است که کدام مقادیر s باعث می‌شوند تابع زتا برابر با صفر شود.
اما این فرضیه همچنین بسیار فراتر از چگونگی رفتار این تابع خاص است. همان‌طور که برنهارد ریمان هنگام اولین ارائه این حدس در سال ۱۸۵۹ متوجه شد، این تابع با الگوهای موجود در اعداد اول مرتبط است؛ اعداد صحیحی که فقط بر ۱ و خودشان بخش‌پذیرند و بسیاری از ریاضی‌دانان آن‌ها را «اتم‌های حساب» می‌نامند.
مدت‌هاست که مشخص شده با حرکت در امتداد محور اعداد، تراکم اعداد اول کمتر می‌شود. ریمان نشان داد که دقیقاً چگونه تراکم اعداد اول کاهش می‌یابد، به نوعی توسط تابع زتا کنترل می‌شود - به ویژه توسط نقاطی که در آن‌ها مقدار تابع برابر با صفر است.
اثبات این موضوع ساده است که اگر s یک عدد زوج منفی (۲-، ۴-، ۶-، ...) باشد، آنگاه ζ(s) = 0 خواهد بود. این‌ها صفرهای بدیهی (trivial zeros) نامیده می‌شوند. فرضیه ریمان می‌گوید که تنها صفرهای دیگر تابع زتا، که صفرهای غیربدیهی (nontrivial zeros) نامیده می‌شوند، زمانی رخ می‌دهند که s دارای بخش حقیقی ۱/۲ باشد. یعنی همه آن‌ها باید روی یک خط عمودی قرار داشته باشند:
اگر هر صفر غیربدیهی در جایی دور از آن خط عمودی یافت شود، به این معنی است که اعداد اول باید الگوی بسیار غافلگیرکننده‌ای تشکیل دهند، الگویی که تا به امروز هرگز مشاهده نشده است.
صرفاً محدود کردن ناحیه‌ای که صفرهای غیربدیهی می‌توانند در آن ظاهر شوند، پیامدهای عظیمی داشته است. خود ریمان ثابت کرد که صفرهای غیربدیهی تابع زتا فقط در یک نوار عمودی بین صفر و ۱ یافت می‌شوند. سپس، در سال ۱۸۹۶، دو ریاضی‌دان نشان دادند که صفرها نمی‌توانند روی لبه‌های این نوار قرار بگیرند. به عنوان یک نتیجه مستقیم، آن‌ها توانستند نتیجه مهمی به نام قضیه اعداد اول را اثبات کنند؛ فرمولی برای اینکه اعداد اول به طور متوسط با چه سرعتی کم‌تراکم می‌شوند.
اگر فرضیه ریمان برقرار باشد، ریاضی‌دانان می‌توانند تضمین کنند که هرگونه انحراف از میانگین داده شده توسط قضیه اعداد اول، همیشه کوچک خواهد بود.
ریاضی‌دانان به صورت عددی تایید کرده‌اند که ۱۲ تریلیون صفر غیربدیهی اول روی خط ۱/۲ قرار دارند. اما آن‌ها نمی‌توانند مطمئن باشند که این فرضیه برای همه صفرها صادق است، و حتی یک مورد استثنای تنها مانند یک زلزله عمل خواهد کرد. همان‌طور که انریکو بمبیری در مقاله تدوین مسائل جایزه هزاره نوشت: «شکست فرضیه ریمان باعث ایجاد هرج و مرج در توزیع اعداد اول خواهد شد.»
الماس‌هایی در میان آشفتگی
این ما را به فرضیه شبه-ریمان می‌رساند. در حالی که فرضیه ریمان فرض می‌کند تمام صفرهای غیربدیهی روی خط عمودی ۱/۲ هستند، نسخه «شبه» فقط می‌خواهد ثابت کند که همه آن‌ها در یک نوار عمودی قرار دارند که باریک‌تر از نوار شناخته‌شده بین صفر و ۱ است. هرچه نوار باریک‌تر باشد، می‌توان مطالب بیشتری درباره نحوه توزیع اعداد اول بیان کرد.
کمپانی OpenAI دو نسخه مختلف از اثبات فرضیه شبه-ریمان خود را اعلام کرد. نسخه اول، مورخ ۳۰ سپتامبر ۲۰۲۶، ادعا کرد نشان داده است که تمام صفرهای غیربدیهی باید بین ۱/۸ و ۷/۸ باشند و به طور رسمی با استفاده از زبان برنامه‌نویسی Lean تایید شد. نسخه دوم که تقریباً یک هفته بعد تکمیل شد (و هنوز به طور رسمی تایید نشده است)، ادعا کرد که نتیجه ضعیف‌تری را ثابت کرده است: اینکه صفرها باید بخش حقیقی بین ۱/۱۲ و ۱۱/۱۲ داشته باشند. اما در حالی که مقاله اول ۱۹۹ صفحه است، دومی با حجمی نسبتاً متوسط، ۴۹ صفحه است.
مانند بسیاری از نتایج اخیر تولید شده توسط هوش مصنوعی، هر دو مقاله «به شکلی فاجعه‌بار نوشته شده‌اند (به گونه‌ای که منجر به رد فوری در هر مجله ریاضی می‌شود)»، این را رادزیویل در یک ایمیل گفت. «آن‌ها با اختلاف زیادی از استانداردهای ارائه و وضوح در حوزه ما فاصله دارند.» بنابراین ریاضی‌دانان مقاله ۷/۸ را کنار گذاشته‌اند تا روی مقاله ۱۱/۱۲ تمرکز کنند که به نظر می‌رسد شامل تکنیک‌های مشابه است و پیامدهای مشابهی دارد. رادزیویل گفت: «دلیلی که مردم بیشتر به نتیجه ۱۱/۱۲ نگاه می‌کنند این است که کوتاه‌تر است.»
ماکسیم رادزیویل (بالا) و الکساندر دان از اینکه اثبات اخیر OpenAI برای فرضیه شبه-ریمان از تکنیک‌هایی استفاده کرده که آن‌ها سال‌ها پیش توسعه داده بودند، شگفت‌زده شدند.
کالتک (Caltech)
ماکسیم رادزیویل (چپ) و الکساندر دان از اینکه اثبات اخیر OpenAI برای فرضیه شبه-ریمان از تکنیک‌هایی استفاده کرده که آن‌ها سال‌ها پیش توسعه داده بودند، شگفت‌زده شدند.
به طور غیر اتفاقی، نتیجه ۱۱/۱۲ تنها یکی از ۷۲۲ مقاله OpenAI است که در ۶ اکتبر منتشر شد و توسط یک انسان ویرایش شده است. OpenAI به پرسش‌ها درباره اینکه آن شخص کیست یا چرا این تنها مقاله‌ای است که قبل از انتشار از تخصص انسانی بهره‌مند شده، پاسخی نداده است. این شرکت در پاسخ به سوالات Quanta گفت: «این مقاله نتیجه کار همه در OpenAI است.»
ریاضی‌دانان در دو هفته‌ای که از انتشار این مقاله می‌گذرد، به شدت در حال مطالعه آن بوده‌اند. پیتر سارناک، نظریه‌پرداز برجسته اعداد در دانشگاه پرینستون، تصمیم گرفته است درسی را که این ترم تدریس می‌کند برای مطالعه آن تغییر دهد. رادزیویل می‌گوید اکنون می‌تواند استدلال‌های اثبات را در نیم صفحه خلاصه کند، در حالی که بازنویسی‌های مفصل‌تر توسط سایر ریاضی‌دانان بین ۷ تا ۱۳ صفحه متغیر است. (تا زمان نوشتن این متن، این موارد هنوز منتشر نشده‌اند اما به صورت خصوصی در حال گردش هستند.) این کارشناسان عمدتاً موافق هستند که نتیجه صحیح است - و نوآوری آن در روشی نهفته است که ایده‌های نظریه اعداد را که مدتی است وجود داشته‌اند، گرد هم می‌آورد.
برای دهه‌ها، سارناک استدلال می‌کرد که ریاضی‌دانان باید با در نظر گرفتن تابع زتا به عنوان تنها یک عضو از خانواده گسترده‌تری از توابع و سپس اثبات گزاره‌هایی درباره آن خانواده، به فرضیه ریمان نزدیک شوند. مایکل روبینشتاین از دانشگاه واترلو گفت: «اما دقیقاً مشخص نبود که چگونه باید این کار را انجام داد یا کدام خانواده را باید در نظر گرفت.»
همان‌طور که مشخص شد، سارناک شهود درستی داشت. اما خانواده‌ای که مدل OpenAI شناسایی کرد، قبلاً نادیده گرفته شده بود. هنریک ایوانیک، ریاضی‌دان دانشگاه راتگرز، در سال ۲۰۰۲ زمانی که تعدادی از خانواده‌های نزدیک به هم را در تلاشی برای اثبات فرضیه ریمان شناسایی کرد، به سختی آن را از دست داد.
با کلیک برای تماشای این ویدیو، شما با سیاست حریم خصوصی ما موافقت می‌کنید.
ویدیو: الکس کنتوروویچ، استاد ریاضیات در دانشگاه راتگرز، فرضیه ریمان را که به دشواری مشهور است، در این ویدیوی توضیحی جامع کالبدشکافی می‌کند.
امیلی بودر/مجله کوانتا؛ گوان-هوی وو و کلی شونکویلر برای مجله کوانتا
یافتن خانواده مناسب نیازمند اشیاء ریاضی مبهمی به نام فرم‌های متاپلکتیک (metaplectic forms) بود که دان پنج سال گذشته را صرف مطالعه آن‌ها کرده است. او گفت: «هیچ‌کس انتظار این را نداشت.» او افزود که فرم‌های متاپلکتیک تا به حال در نظریه اعداد تا حدودی غیرمعمول بوده‌اند، «بنابراین امیدوارم این نظریه زیبا و باطنی توجهی را که شایسته آن است دریافت کند.»
در کمال تعجب دان و رادزیویل، فرمول آن‌ها که در سال ۲۰۲۱ ثابت کرده بودند، به یک جزء حیاتی در این اثبات تبدیل شد (در کنار کار بسیاری از ریاضی‌دانان دیگر). رادزیویل گفت، در نگاهی به گذشته، ریاضی‌دانانی که شاخه‌ای از نظریه اعداد را مطالعه می‌کنند که تمام این کارها به آن تعلق دارد، در این فکر که ابزارهایشان برای حل فرضیه شبه-ریمان به اندازه کافی قوی نیست، در اشتباه بودند. آن‌ها متقاعد شده بودند که اثبات آن نیازمند تکنیک‌هایی از شاخه دیگری از نظریه اعداد است. «باور» مدل هوش مصنوعی به اینکه ابزارهای آن‌ها ممکن است کافی باشد، یک دیدگاه حیاتی بود. رادزیویل گفت: «این باور بسیار جسورانه‌ای بود!»
ریاضی‌دانان هم از کار OpenAI ناامید و هم هیجان‌زده هستند. سارناک به نوبه خود در ایمیلی گفت تا زمانی که انسان‌ها تمام جزئیات را بررسی و درک نکنند، از اینکه این یک «قضیه» (Theorem) است راضی نخواهد بود. اما رادزیویل گفت: «احساس کلی، احساس آرامش است.» نتایج بی‌شماری نه تنها در نظریه اعداد، بلکه در هندسه و علوم کامپیوتر نظری وجود دارد که اثبات‌های شبه-ریمان با یک ضربه سریع، آن‌ها را به عنوان حقایق ریاضی تثبیت می‌کند.
نظریه‌پردازان اعداد تردید دارند که ترکیب خاص تکنیک‌های این نتیجه به آن‌ها اجازه دهد کران ۷/۸ را به ۱/۲ وسوسه‌انگیز برسانند. ویل ساوین از پرینستون گفت: «به نظر من محتمل‌ترین حالت این است که وقتی ریاضی‌دانان روش‌های جدید را کاملاً درونی کردند و پیامدهای آن‌ها را بررسی کردند، همچنان همان‌قدر از فرضیه کامل ریمان دور باشیم که قبلاً بودیم. اما من در این باره مطمئن نیستم.»
توماس بلوم، ریاضی‌دان دانشگاه منچستر، موافق بود که فرضیه کامل ریمان هنوز دور از دسترس به نظر می‌رسد. اما او افزود: «ما چند هفته پیش همین حرف را درباره شبه-RH می‌زدیم! در این مرحله هیچ چیز مرا غافلگیر نمی‌کند.»
دیدگاه‌ها و نقدها
دیدگاه خود را درباره این تحلیل با دیگر خوانندگان به اشتراک بگذارید.
ارسال دیدگاه جدید
هنوز دیدگاهی برای این مقاله ثبت نشده است.
نخستین نفری باشید که دیدگاه یا نقد خود را درباره این موضوع می‌نویسد.